La Formation Continue de l'Ecole des Ponts

1. Les règles de calcul pressiométriques

 

Les règles de calcul des semelles à partir des essais pressiométriques, de nature empirique, ont été établies par L. Ménard (1962, 1963a, 1971), Dauvisis et Ménard (1964). En France, elles sont codifiées dans le fascicule 62 titre V du CCTG (1984).

On considère les grandeurs suivantes :

p_l* :  pression limite nette = p_l – p_o

E_M :  module pressiométrique, noté souvent E par simplification dans la suite

a :  coefficient rhéologique pressiométrique

B , L , D_e :  largeur, longueur et encastrement équivalent de la semelle

q : contrainte de service appliquée par la semelle

 

La règle de calcul de la capacité portante « q_u » est :

q_u = q_o + k . p_l*e

avec : 

p_l*e = moyenne géométrique des pl* sur une profondeur de 1,5 B sous la semelle,

k = facteur de portance, fonction des rapports L/B, D_e/B et du type de sol.

 

La règle de calcul du tassement « s » est :

s = s_c + s_d

avec :  terme « sphérique », ou de « compression » 

 terme « déviatorique »

 l_c , l_d = coefficients de forme, fonctions de L/B

E_c , E_d = valeurs de E_M, pondérées, respectivement suivant les contraintes « sphériques » ou « déviatoriques », comme indiqué ci-après.

Pour la pondération de E_M, on considère sous la semelle 16 tranches d’épaisseur H=B/2 (figure 1).

Figure 1 : Calcul du tassement : tranches 1 à 16

 

Pour chacune de ces tranches, le module pondéré est obtenu comme moyenne harmonique des valeurs de EM mesurées dans la tranche. Ainsi pour la tranche n° i :

Ei = ni / [ 1/E_i,1 + 1/ E_i,2 + … + 1/ E_i,ni ]

 

Il est en de même pour un groupe de tranches, par exemple, pour E_3,5. 

On obtient alors E_c et E_d par :

E_c = E1

E_d = 4 / [ 1 / E₁ + 1 /(0,85 E₂) + 1 / E_3,5 + 1/ (2,5 E_6,8) + 1/ (2,5 E_9,16) ]

 

Nous modifions cette formule d’une part en décomposant les groupes de tranches en tranches élémentaires, d’autre part en attribuant un poids à chaque tranche :

Ed = 1 / [ 0,25 / E₁ + 0,30 / E₂ + 0,25 / E_3,5 + 0,10 / E_6,8 + 0 ,10 / E_9,16 ]

puis :  

E_d = 1 /  [wi/Ei] avec : wi =1

 

Tableau I – Poids w_i des tranches pour le terme de tassement déviatorique s_d

i	1	2	3	4	5	6	7	8
wi	0,25	0,30	0,11	0,08	0,06	0,045	0,032	0,023
i	9	10	11	12	13	14	15	16
wi	0,018	0,015	0,013	0,012	0,011	0,011	0,010	0,010

 

La formule de la capacité portante a été calée par L. Ménard sur une série de neuf essais de chargement sur des semelles de largeur 0,4m à 0,6m, assises dans un limon loessique (Ménard, 1963 ; Dauvisis, Ménard, 1964). Elle a été vérifiée également par les Laboratoires des Ponts et Chaussées (Amar et al,1987) sur plus de vingt essais de chargement de semelles de largeur 0,6m à 1m, intéressant plusieurs types de sol (sable, limon, argile, craie, marne). Une synthèse récente de ces résultats et de données supplémentaires de diverses provenances a été publiée par Canépa et Garnier (2004).

Pour ce qui concerne les tassements, on trouve dans Baguelin, Jézéquel, Shields (1978) une synthèse des résultats obtenus par les Laboratoires des Ponts et Chaussées, dont une partie a été publiée par Amar, Bru, Baguelin (1973). Les mesures concernent 26 sites et 45 fondations superficielles (semelles, radiers, remblais). Nous avons enlevé les 7 mesures concernant 5 ouvrages qui sont des remblais, reposant sur une couche compressible peu épaisse, pour lesquels la formule de tassement qui a été utilisée n’est pas celle indiquée précédemment, mais celle dite de la « couche molle » : s= q.h.a/EM. On obtient alors pour les 21 sites restants l’histogramme de la figure 2 et les valeurs statistiques suivantes pour le rapport « tassement mesuré / tassement calculé ».

moyenne :  1,13  1^er quartile :  0,71

médiane : 0,92 3^ème quartile : 1,23

 

Ces résultats montrent que la méthode de prévision est assez fiable.

 

 

Figure 2 – Histogramme des valeurs du rapport

« tassement mesuré / tassement calculé ».

 

Notons que le module d’Young EY, à utiliser dans une formule d’élasticité pour obtenir les mêmes valeurs que par la formule pressiométrique, vaut typiquement 2 à 3,5 EM/a .

Par exemple, pour une semelle circulaire de diamètre B, on a en élasticité : 

s = p/4.q.(1-n²)/EY.B

Prenons : B = 3m , n=0,3 , a = 0,5 . On trouve : EY = 2,3 EM/a .

 

2. Les valeurs caractéristiques selon l’Eurocode 7 et la méthode de Baguelin & Kovarik (2000)

 

L’Eurocode 7 « Calcul des ouvrages géotechniques » fait appel à la méthode des états limites et requiert la détermination de valeurs caractéristiques, soit pour les variables de résistance ou de déformation des sols ou des roches (approche 1), soit pour les grandeurs caractérisant globalement le comportement de l’ouvrage (approche 2, dite d’ouvrage-modèle). Par exemple, dans un pieu-modèle, on calculera la capacité portante d’un pieu de géométrie donnée en plusieurs points de sondage et l’on fera des statistiques sur ces résultats. Nous étudions ici l’application de l’approche 1 au cas des semelles. Les valeurs caractéristiques des paramètres de sol sont définies ainsi par l’EC7 :

« La valeur caractéristique d’un paramètre de sol ou de roche doit être choisie comme une estimation prudente de la valeur influençant l’occurrence de l’état limite.

L’étendue de la zone de terrain qui gouverne le comportement d’un ouvrage géotechnique vis-à-vis d’un état limite donné est généralement beaucoup plus grande que celle qui intervient dans un essai sur le sol ou sur ou sur la roche et, par conséquent, le paramètre qui contrôle le comportement de l’ouvrage est souvent une valeur moyenne sur une certaine surface ou un certain volume de sol. La valeur caractéristique est une estimation prudente de cette valeur moyenne.

Lorsque des méthodes statistiques sont utilisées, il convient d’établir la valeur caractéristique de telle sorte que la probabilité calculée d’une valeur plus défavorable contrôlant l’occurrence de l’état limite ne dépasse pas 5%. »

On voit que l’Eurocode 7 associe clairement la notion de valeur caractéristique au mécanisme de ruine (ou de déformation) ; il ne peut donc s’agir d’une valeur intrinsèque au sol. La probabilité de 5% intéresse la valeur du paramètre qui entre en compte dans le modèle de calcul ; et l’on comprend qu’un ouvrage de petite taille va être plus vulnérable vis-à-vis de défauts de résistance localisés qu’un grand ouvrage où va s’opérer une certaine moyenne spatiale des variations de résistance. Le problème ne se réduit donc pas à celui de la détermination du fractile à 5% de la distribution estimée du paramètre géotechnique dans la couche ou la formation considérée.

Pour appliquer ces notions, Baguelin & Kovarik proposent de procéder en deux étapes pour une couche de sol donnée et un paramètre X :

 

1^ère étape : déterminer deux valeurs du paramètre X, une valeur « moyenne inférieure » Xmi et une « valeur basse » Xb. A partir d’un échantillonnage de N valeurs Xi indépendantes, on obtient :

Xmi = m_X – k_a . s_X 

Xb = m_X – k_b . s_X

avec :

 m_X = moyenne observée = (S Xi) /N

 s_X = écart-type observé = Ö[S (Xi-m)² /(N-1)]

k_a = t^(N-1)_a / ÖN

k_b = t^(N-1)_b . Ö[(N+1)/N]

t^(N-1)_a et t^(N-1)_b sont les fractiles à a=25% ou b=5% de la loi de Student à (N-1) degrés de liberté .

Le tableau II donne les valeurs de k_a et k_b en fonction de N.

On voit que l’écart (Xmi – Xb) est proportionnel à l’écart-type, et donc que son carré est proportionnel à la variance.

 

Tableau II - Valeurs de k_a et k_b

N	2	3	4	5	6	8	10	20	30	100
ka	0,71	0,47	0,39	0,33	0,30	0,25	0,22	0,15	0,12	0,07
kb	7,73	3,37	2,63	2,33	2,18	2,00	1,92	1,76	1,73	1,64

 

2^ème étape : déterminer la valeur caractéristique Xk associée à un mécanisme d’état limite (rupture ou déformation) en réduisant l’écart (Xmi – Xb) d’après le nombre de points indépendants entrant dans la surface ou le volume de l’état limite : 

 Xk = Xmi – [Xmi – Xb] / Ö (nloc)

où nloc désigne le nombre de points indépendants.

La détermination de nloc est difficile. En toute rigueur, elle nécessite de connaître les distances d’auto-corrélation de la couche de sol, ce que ne permettent pas les reconnaissances géotechniques courantes. En attendant le résultat de recherches systématiques sur ce sujet, Baguelin & Kovarik ont proposé les valeurs forfaitaires du tableau III.

 

Tableau III - Valeurs typiques de distances d’auto-corrélation

Sol	LH horizontale	LV verticale
forte auto-corrélation	15 m	2 m
auto-corrélation courante	10 m	1 m
faible auto-corrélation	5 m	0,5 m

 

Dans la première étape, il est possible, et recommandé, de prendre en compte des profils linéaires avec la profondeur. On obtient alors des droites dites « basse » et « moyenne inférieure », Db et Dmi. Dans la deuxième étape, on détermine une droite caractéristique Dk, qui dépend de l’état-limite, puis la valeur caractéristique Xk, à la profondeur appropriée.

La variable aléatoire normale X peut être le paramètre géotechnique concerné Y : XºY. La dispersion est alors arithmétique. On peut aussi considérer une variable transformée : X = f(Y). Par exemple : X= Ln Y , qui correspond à une loi log-normale pour Y ; nous qualifions alors la dispersion de X comme logarithmique.

 

 

3. Le tableur VACASOL

 

Nous avons mis au point ce tableur ( “Valeurs caractéristiques de sol”) pour appliquer la méthode de Baguelin-Kovarik à des profils d’essais en place. Dans le cas de sondages pressiométriques, il permet :

Ø d’établir des profils de la pression limite pl*, ou du module EM, constants ou linéaires avec la profondeur z, avec une dispersion arithmétique ou logarithmique (première étape). On obtient les droites Db et Dmi.

Ø de séparer la dispersion en ses composantes horizontale (x,y) et verticale (z), sous forme de deux pourcentages complémentaires, pxy et pz . On a : pxy+pz=100%.

Ø de déterminer, pour un ou plusieurs états-limites, la ou les valeurs caractéristiques Xk, par le choix, approprié à chaque état-limite, de deux nombres de réduction de variance nxy et nz , et d’une profondeur caractéristique zk.

 

On donne ci-après une méthode pour choisir, dans le calcul d’une semelle à partir des règles pressiométriques, les valeurs de nxy ( §3.3.), nz et zk (§ 4 et 5).

 

3.1. Profils

 

Nous présentons l’exemple de l’étude des pressions limites pl* d’une couche d’argile sableuse à partir de 3 sondages pressiométriques. Les profondeurs sont repérées par rapport à une cote de référence C0, proche de celles des têtes des différents sondages.

La figure 3 illustre la prise en compte de profils constants avec la profondeur, soit avec une dispersion arithmétique (cas A), soit avec une dispersion logarithmique (cas B).

 

 

Figure 3 : Tableur VACASOL . Profils constants avec la profondeur. Cas A et B.

 

La figure 4 montre différents profils linéaires avec la profondeur :

§ cas 1 : droite des moindre carrés (DMC), qui correspond à une dispersion arithmétique constante avec la profondeur.

§ cas 2 : droite DCV, qui correspond à une dispersion arithmétique proportionnelle à la valeur de la variable (coefficient de variation CV constant). Les deux droites Dmi et Db ont même ordonnée à l’origine zo, généralement négative.

§ cas 3 : droite DLG, qui correspond à une dispersion de type logarithmique et un coefficient de variation CV constant.

 

L’expression de l’écart e est la suivante dans les différents cas :

A  e = X - a

B  e = Ln X – Ln a

1 e = X –a – b.z

2 e = (X –a – b.z)/ (a + b.z)

3 e = Ln [ X / (a + b.z) ]

 

 

Figure 4 : Tableur VACASOL . Profils linéaires avec la profondeur.

Cas 1 à 3 (DMC, DVC, DLG).

 

Le coefficient a (cas A et B) ou les coefficients a et b (cas 1 à 3) sont déterminés de façon à minimiser la somme des écarts quadratiques des N points de l’ensemble des sondages : SEQ = S e² = S₁^N e_i² .

On constate sur l’exemple, mais ceci a valeur générale, que :

§ les profils constants A et B présentent une dispersion beaucoup plus forte que les profils linéaires. Les errements habituels qui consistent à faire des statistiques sur les valeurs des paramètres, indépendamment de la profondeur, sont donc généralement peu représentatifs et trop pessimistes.

§ la prise en compte d’une dispersion logarithmique réduit la dispersion et surtout donne une droite basse Db moins pessimiste.

La dispersion logarithmique se justifie physiquement par le fait que les paramètres étudiés, pl* ou EM, ne peuvent prendre de valeurs négatives, ce qui serait le cas avec une dispersion arithmétique élevée et une probabilité faible. On voit d’ailleurs sur l’exemple que la droite basse DMC donne des valeurs presque nulles près de la profondeur zéro.

Le meilleur ajustement est donc généralement la droite DLG (cas 3).

 

3.2. Composantes verticale et horizontale de la dispersion

 

On peut décomposer la somme des écarts quadratiques SEQ comme suit de manière à faire apparaître les composantes horizontale et verticale de la dispersion. Soit : 

e = écart

p = nombre de sondages

ni = nombre de valeurs Xi dans le sondage i

n = nombre total de valeurs

Sⁿⁱ = sommation de ni valeurs

ei = Sⁿⁱ (e / ni) = moyenne des écarts du sondage i

On a alors :

SEQ = Sⁿ (e²) = S^p [Sⁿⁱ (e-ei)+ei² ]

Comme :  Sⁿⁱ 2(e-ei).ei]=0 , il ne subsiste que les carrés. On obtient :

SEQ = S^p [Sⁿⁱ (e-ei)²] + S^p ni.ei²  (1) 

C’est une variante de la formule de Huyghens-König. Le premier terme représente la composante verticale de la dispersion, le second terme la composante horizontale, d’un profil à l’autre.

 

3.3. Réduction de la variance, définition de la profondeur caractéristique et de l’épaisseur équivalente

 

Soit pz et pxy les pourcentages respectifs des deux composantes, verticale et horizontale, de la dispersion, et nz , nxy les nombres de points indépendants suivant la verticale et en plan dans la sollicitation de l’état-limite étudié. On peut alors opérer la réduction de variance séparément sur chaque composante dans l’évaluation de Xk , soit :

   (2)

Le nombre nxy peut être évalué sommairement, dans le cas d’une semelle filante de longueur L, étroite et très rigide, par : nxy = L/LH , avec LH d’après le tableau III. Si la semelle n’est pas rigide longitudinalement, il faut considérer une longueur de rigidité L rig  » 2Lo , Lo étant la longueur de transfert élastique.

L’évaluation du nombre nz est donnée ci-dessous, en introduisant une épaisseur équivalente He et une profondeur équivalente Zk , sous la base de la semelle, telles que :

Zk = profondeur de calcul de la valeur Xk , applicable dans le cas d’une variation linéaire avec la profondeur

nz = nombre de valeurs indépendantes sur une verticale dans l’épaisseur He.

On considère que l’espacement vertical de 1m généralement utilisé dans les sondages pressiométriques est représentatif de la distance d’auto-corrélation verticale L_V, de sorte que :  

 nz = He (en mètres) (3) 

 

4. Epaisseur équivalente et profondeur caractéristique pour le calcul de la contrainte de poinçonnement d’une semelle

 

Selon la règle de calcul de la pression de poinçonnement, il faut déterminer une pression limite équivalente pl*e , moyenne géométrique des pl* sur une profondeur égale à 1,5 B. Autrement dit, on a :

Ye = [ S₁^N Y_i ] / N= S₁^N (Y_i / N) (4)

avec :  X = pl*

Y = Ln X

 N = nombre de valeurs dans la couche d’épaisseur 1,5 B

Il est clair qu’il vaut mieux utiliser les cas de calcul B ou 3 (DLG), qui donnent des moyennes sur les logarithmes, plutôt que les cas A, 1 ou 2.

 

4.1. Profondeur caractéristique Zk (cas 1, 2 et 3)

 

Pour les cas A et B cette grandeur n’intervient pas. Pour les autres cas, 1, 2 et 3, on a :

 Xe = exp(Ye) = expS₁^N [Ln(pl*_i)/ N] (5)

 Zk = (Xe-a)/b (6)

On peut aussi, plus simplement, utiliser la règle proposée par le fascicule 62-V :

 Zk = 2B/3.  (7)

 

4.2. Epaisseur équivalente He 

 

D’une manière générale, nous utilisons pour le calcul des écarts-types et des variances le développement au premier ordre, soit pour Y = f(X) :

 sY = sX . |f’(EX)|

ou :  VY = VX . f’(EX)²

avec :  EX = espérance de la variable aléatoire X

sX = écart-type

VX = variance (VX=sX²)

On a donc :  VYi = VXi / EXi²

  VYe = S₁^N (VY_i / N²) = S₁^N [VX_i / (EXi².N²)]

Pour les différents cas, A, B, 1, 2 et 3 envisagés au §.3, on trouve les résultats suivants :

 

 

Cas A (profil constant, dispersion arithmétique)

EXi = EXo VXi = VXo VXe = VXo / N 

N étant le nombre d’essais dans la tranche 1,5 B, soit : N =1,5 B (en mètres) 

d’où :  nz=N  He = 1,5 B

 

Cas B (profil constant, dispersion logarithmique)

EYi = EYo  VYi = VYo VYe = VYo / N  

d’où :  nz=N  He = 1,5 B

 

Cas 1 (droite DMC - profil linéaire, dispersion arithmétique, écart-type constant)

 EXi = a+b.zi VXi = VXo 

VXe = VXo/N . M

avec :  M = moy (EXi²/EXe²)

On a donc :

  nz=N  He = 1,5 B . M

Le coefficient M est généralement proche de 1, par excès.

Considérons par exemple une augmentation de pl* de 30% sur une profondeur égale à la largeur B de la semelle et 5 valeurs de pl* sur la profondeur 1,5 B. En prenant l’origine des z à la base de la semelle, on a : b.B=0,3a , et l’on trouve : 

M =1,13  He =1,7 B.

 

Cas 2 (droite DCV - profil linéaire, dispersion arithmétique, coefficient de variation constant)

 EXi = a+b.zi CVXi = VXi / EXi² = CVXo VYe = CVXo² / N

d’où :  nz=N  He = 1,5 B

 

Cas 3 (droite DLG - profil linéaire, dispersion logarithmique, coefficient de variation constant)

 EXi = a+b.zi CVXi = VXi / EXi² = CVXo VYe = CVXo² / N

d’où :  nz=N  He = 1,5 B

 

Conclusion : on peut adopter la règle :

 He = 1,5 B (8)

Pour le cas 1 (DMC), il s’agit d’une approximation par défaut.