Fondasol, Directeur Scientifique
mise en ligne: mardi 3 janvier 2006
5. Epaisseur équivalente et profondeur caractéristique pour le calcul du tassement d’une semelle
5.1. Approximations de calcul, définitions et notations
Approximations de calcul
Nous utilisons les approximations suivantes :
1) les valeurs au point milieu de chaque tranche élémentaire, éventuellement tronquée par la limite de couche (Zs).
2) le développement au premier ordre pour le calcul des écarts-types et des variances.
En effet, la formule de tassement fait intervenir comme variable aléatoire additive X, inverse du module E. La formule de la réduction de variance n’est rigoureuse que si cette grandeur est une variable aléatoire de loi normale. Il est usuel de l’appliquer avec un développement au premier ordre de la fonction X=f(E), ce qui constitue bien une approximation acceptable dans notre cas, comme l’illustre le schéma de la figure 5.
Figure 5 : Approximation des intervalles de variation de E et X.
Définitions et notations
Posons :
H = B/2 : épaisseur des 16 tranches élémentaires du calcul de tassement
Z : profondeur comptée à partir de la base de la semelle
Zs : profondeur du substratum, par rapport à la base de la semelle
Zi : profondeur du bas de la tranche i
hai : proportion de sol « a » dans la tranche i d’épaisseur H
hai =1 pour Zs>Zi
hai =0 pour Zs<Zi-1
hai =Ha,i /H pour Zi-1 <Zs<Zi
hbi : proportion de sol « b » dans la tranche i : hbi=1-hai
hi = hai ou hbi , selon la couche concernée, « a » ou « b »
s : tassement
gc = q.B.a.lc/9
s* = s / gc
d = 2 lda / (a lc) . (Bo/B)1-a
pd = d / (1+d) pourcentage de tassement déviatorique en massif indéfini de
module constant
wi : poids des composantes de sd (tableau I) : i = 1 à 16 . Nota : S116 wi = 1
vi : poids des composantes du tassement total, s
v1 = (1+d.w1.h1)
vi = d.wi.hi (i=2 à 16)
Sv = S116 vi
pi = vi / Sv poids des composantes du tassement total, tels que : S pi = 1
X = 1/ E , inverse du module pressiométrique E
EXi : espérance de la variable aléatoire Xi.
EEi = A [1+m.Z/B] : relation linéaire de l’espérance EEi du module pressiométrique E
avec la profondeur Z
A : terme à l’origine (Z=0) de EEi = EEo
m : gradient relatif de la relation linéaire = [EE(Z=B) – EE(Z=0)] / EEo
5.2. Cas du sol homogène de profondeur Zs
On considère le substratum, couche « b » de la figure 1, comme parfaitement rigide.
On a alors les relations suivantes pour la couche « a » sus-jacente :
s* = S116 [vi. Xi] = Sv. S116 [pi. Xi]
La valeur équivalente Xe est donnée par : s* = Sv. Xe
D’où : Xe = S116 [pi. Xi] (9)
et : EXe = S116 [pi. EXi] avec : EXi = 1/EEi = 1/A [1+m.Z/B]
La profondeur caractéristique Zk vaut alors :
Zk = B . [EXo/EXe-1]/m (10)
La variance de Xe se calcule, à partir de l’équation 6, par :
VXe = S116 [pi². VXi]
En tenant compte de : VX = VE. (EX)4
et en faisant le quotient de VXe par la variance VXzk, résultant de la relation linéaire de EEi à la profondeur Zk , on trouve l’expression suivante pour l’épaisseur équivalente He :
He = 0,5 B / S116 [pi². (EXi/EXe)p / hi]
He = 0,5 B (EEo/EEe)p / S116 [pi². (EEo/EEi)p / hi] (11)
avec : p = 4 dans le cas de variance constante avec la profondeur (VE=VEo) (cas A, B
& 1)
p = 2 dans le cas d’un coefficient de variation constant (CVo = VE/EE²=VX/EX²)
(cas 2 & 3)
Les abaques des figures 6 à 8 donnent les valeurs de Zk/B et de He/B en fonction de Zs/B et de pd, et pour différentes valeurs du coefficient m :
§ la figure 6 donne Zk/B pour une variance constante ou CV constant.
§ la figure 7 donne He/B pour CV constant.
§ la figure 8 donne He/B pour une variance constante. Noter que le cas m=0 est identique à celui de la figure 7
Figure 6 : Abaques de Zk/B (couche a – V ou CV constant).
Figure 7 : Abaques de He/B (couche a – CV constant).
Figure 8 : Abaques de He/B (couche a – variance constante).
Figure 9 : Abaque de Zk & He/B - couche b
A cause de l’approximation n°1 mentionnée au §5.1., les courbes He/B des figures 7 et 8 présentent un palier constant pour m>0 et pd=0, ce qui est très inexact pour les fortes valeurs de m. En fait, le cas pd=0 ne représente pas un cas réel, mais est un cas asymptotique. En pratique, les valeurs de pd entrent le plus souvent dans la fourchette [0,5 – 0,85] et à l’extrême dans la fourchette [0,35 – 0,9].
5.3. Cas du bicouche
On considère que le substratum est déformable et que les deux couches, « a » et « b », couvrent la profondeur de calcul de 8 B. On conserve le symbole Zs pour la profondeur de la limite entre « a », couche supérieure, et « b », couche inférieure (fig. 1)
Les relations du §5.2. s’appliquent à chacune des deux couches, avec leurs paramètres pressiométriques respectifs E et a. Pour ce qui concerne les proportions de sol hi, en particulier dans l’expression des vi et dans l’équation 8, ce sont les valeurs hai qui s‘appliquent pour la couche « a » , et les valeurs hbi pour la couche « b ».
On donne en figure 9 les courbes Zk/B et He/B correspondant à la couche « b », pour Zs/B > 0,5 . Dans ce cas, très fréquent dans la pratique, ces grandeurs ne dépendent pas de pd.
Cependant les abaques des figures 6 à 9 donnent l’épaisseur équivalente pour la réduction de variance de chacune des deux couches, indépendamment l’une de l’autre. Pour tenir compte de l’interférence probabiliste entre les deux couches, il faut dans l’équation 2 diminuer la réduction de chacune des deux couches. Raisonnons en écarts-types plutôt qu’en variances.
Les valeurs caractéristiques du module pressiométrique E sont des valeurs inférieures ; elles conduisent à des valeurs supérieures pour l’inverse X et pour le tassement « s », résultat final. Soit sa et sb les tassements respectifs des couches « a » et « b », et ssa et ssb leurs écarts-types, ss l’écart-type du tassement total.
On a : ss = Ö(ssa² + ssb²) < ssa + ssb
Plusieurs options sont possibles pour mettre ss sous forme d’une combinaison linéaire de ssa et ssb. Nous choisissons de leur affecter le même coefficient minorateur m. soit :
ss = m (ssa + ssb)
avec : m = Ö(1+r²) / (1+r) (12)
r = ssb / ssa (13)
Le coefficient m (tableau IV) vient s’ajouter, en coefficient multiplicateur, dans l’équation 2, applicable à chacun des deux modules Ea et Eb des couches a et b. Elle devient :
(14)
Tableau IV - Valeurs de m.
|
r ou 1/r
|
0
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
0,7
|
0,8
|
0,9
|
1
|
|
m
|
1
|
0,91
|
0,85
|
0,80
|
0,77
|
0,75
|
0,73
|
0,72
|
0,71
|
0,71
|
0,71
|
L’évaluation du rapport r peut se faire à partir du rapport des tassements des deux couches, sb/sa, calculés avec les valeurs « moyenne inférieure » du module, Ea,mi et Eb,mi, et du rapport des coefficients de variation du module pressiométrique, (CVEb/CVEa), aux deux niveaux de calcul Zka et Zkb, soit :
r = (sb/sa) . (CVEb/CVEa) (15)
6. Exemples
Dans les exemples présentés, nous avons utilisé les programmes de calcul automatique VACASOL et VACASEM ( “Valeurs caractéristiques de semelle”). Ce dernier est en fait constitué de feuilles de calcul du tableur VACASOL dédiées au calcul des valeurs caractéristiques des semelles. A partir des résultats de VACASOL, on peut étudier simultanément plusieurs configurations de semelle.
6.1. Exemple 1 – Calcul de la pression de poinçonnement.
Nous utilisons les valeurs de pl* données aux figures 3 et 4 pour une semelle assise à la profondeur z=1,5m de largeur B=2m et de longueur L=12m. Le tableau V donne les résultats du tableur VACASOL pour l’ensemble des cas de calcul, les paramètres de la semelle et les différents calculs aboutissant à la pression limite caractéristique. Bien entendu, dans la pratique, il n’est pas question d’appliquer tous les cas de calcul. Dans le calcul VACASEM, on sélectionne le cas souhaité, et les pl*k sont calculés automatiquement pour plusieurs configurations géométriques de semelle.
Tableau V – Calculs VACASEM pour le poinçonnement.
|
Calcul
|
A
|
B
|
1 = DMC
|
2=DCV
|
3=DLG
|
|
Résultats VACASOL
|
|
|
|
|
|
ami
|
1 170
|
1 095
|
661
|
658
|
611
|
|
bmi
|
0
|
0
|
84.6
|
85.8
|
85.4
|
|
ab
|
420
|
596
|
11
|
322
|
373
|
|
bb
|
0
|
0
|
84.6
|
42.1
|
52.1
|
|
s
|
468
|
436
|
404
|
209
|
194
|
|
CV
|
38%
|
38%
|
57%
|
30%
|
32%
|
|
pxy
|
22%
|
24%
|
18%
|
19%
|
20%
|
|
pz
|
78%
|
76%
|
82%
|
81%
|
80%
|
|
|
Nota : les valeurs en italique gras sont calculées en z=0.
|
|
|
|
|
|
|
|
Paramètres de la semelle
|
|
zo (Z=0)
|
1.5
|
1.5
|
1.5
|
1.5
|
1.5
|
|
B
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
|
L
|
12
|
12
|
12
|
12
|
12
|
|
|
|
|
|
|
|
Calculs VACASEM
|
|
LH
|
10
|
10
|
10
|
10
|
10
|
|
Zk (=2B/3)
|
|
|
1.33
|
1.33
|
1.33
|
|
He (=1,5B)
|
3
|
3
|
3
|
3
|
3
|
|
A
|
1 170
|
1 095
|
788
|
787
|
739
|
|
m
|
0
|
0
|
0.215
|
0.218
|
0.231
|
|
nxy
|
1.2
|
1.2
|
1.2
|
1.2
|
1.2
|
|
nz
|
3
|
3
|
3
|
3
|
3
|
|
pl*mi (à Zk)
|
1 170
|
1 095
|
900
|
901
|
853
|
|
pl*b (à Zk)
|
420
|
596
|
251
|
442
|
520
|
|
pl*k
|
669
|
758
|
478
|
601
|
635
|
On constate dans cet exemple que :
§ le calcul DMC est trop pessimiste : CV est anormalement élevé, la dispersion arithmétique donne des valeurs Eb quasi nulles en surface.
§ le calcul B est sans doute trop optimiste : il est trop influencé par les valeurs élevées en profondeur.
§ les autres calculs paraissent acceptables. Le calcul DLG semble le mieux tenir compte de l’affaiblissement des pl* près de la profondeur d’assise et de la dispersion des caractéristiques.
6.2. Exemple 2 – Calcul de tassement
Nous utilisons les données de module EM du même site, qui comporte 2 couches : a) argile sableuse sur environ 10m d’épaisseur , b) marne, reconnue sur environ 10m. Les profils de EM sont donnés aux figures 10 et 11, avec les droites Dmi et Db pour le calcul 3=DLG. Nous considérons une semelle assise à la profondeur z=4m, avec :
B=6m L=18m q(ELS) = 250 kPa
Le tableau VI récapitule les données ainsi que les résultats issus de VACASOL, et il indique les principaux résultats intermédiaires du calcul VACASEM, ainsi que les résultats finaux. Les valeurs de Zk et He peuvent être comparées aux valeurs fournies par les abaques des figures 6 à 9, pour les valeurs de d et m appropriées à chaque couche. Le rapport Zs/B vaut 1,17 ; He/B vaut 0,79 et 2,49 , respectivement pour les couches a et b. On voit que, par rapport aux valeurs de tassement « smi » correspondant aux valeurs « moyenne inférieure » des modules, donc en réalité valeurs moyennes « supérieures » pour les tassements, les valeurs caractéristiques « sk » correspondent à une majoration d’environ 30%.
Tableau VI – Calcul VACASEM pour le tassement
Le calcul avec un substratum parfaitement rigide, donc avec un massif de sol limité à la couche « a », donne : sk=0.020 m, résultat assez proche, par défaut, de celui du calcul complet.
Figure 10 : profils de EM de la couche « a » : argile sableuse
Figure 11 : profils de EM de la couche « b » : marne
7. Conclusion
L’utilisation de valeurs caractéristiques, c’est à dire avec un risque de mise en défaut de 5%, s’impose pour les paramètres géotechniques entrant dans les calculs d’ouvrages selon l’Eurocode 7. On rappelle que celles-ci dépendent du type de sollicitation et ne peuvent donc être fixées de manière unique pour un site et une couche de sol.
La présente étude montre l’importance du choix des lois de dispersion. D’une manière générale, pour caractériser une couche de sol, il est recommandé d’utiliser une régression linéaire avec la profondeur avec une dispersion de type logarithmique et un coefficient de variation constant : c’est le cas « DLG » de notre étude. On aboutit ainsi aux deux droites Dmi et Db, « moyenne inférieure » et « basse », préconisées par Baguelin-Kovarik (2000).
Pour obtenir la valeur caractéristique de la couche intervient ensuite la réduction de variance, fonction du type de sollicitation et de la taille de l’ouvrage. On montre comment la déterminer dans les calculs de poinçonnement ou de tassement d’une semelle, en recourant à deux grandeurs :
1) la profondeur caractéristique Zk, où doit être calculée cette valeur,
2) l’épaisseur équivalente He, qui permet la réduction de variance suivant la verticale.
On indique en outre comment opérer la réduction de la variance horizontale et comment, dans le cas du calcul de tassement, prendre en compte l’interférence probabiliste entre deux couches. On a établi des abaques pour la détermination de Zk et de He dans le cas du tassement.
8. Références bibliographiques
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Baguelin F., Jézéquel J.F., Shields D.H. (1978) The pressuremeter and Foundation Engineering. Trans Tech Publications. Series on Rock and Soil Mechanics Vol. 2 (1974/77) n° 4 – First Edition.
Baguelin F., Kovarik J. B. (2000) Une méthode de détermination des valeurs caractéristiques des paramètres géotechniques, Revue Française de Géotechnique, n°93, pp. 35-41.
Bru J.P., Baguelin F., Goulet G., Jaeck G., Jézéquel J.F. (1973) Prévision de tassement au pressiomètre et constatations. Bulletin de Liaison des Laboratoires des Ponts et Chaussées – supplément au n° 67, septembre-octobre, pp. 31-38.
Canépa Y., Garnier J. (2004). Etudes expérimentales du comportement des fondations superficielles - Etat de l’art. Symposium FONDSUP 2003, Paris, Volume 2, pp 155-260, Presses de l’ENPC/LCPC.
Dauvisis J.P., Ménard L. (1964) Etude expérimentale du tassement et de la force portante de fondations superficielles. Sols-Soils – Vol. III n° 10, septembre, pp.11-32.
Fascicule n° 62 – Titre V (1993) Règles techniques de conception et de calcul des fondations des ouvrages de génie civil. CCTG, Ministère de l’Equipement, du Logement et des Transports.
Ménard L. (1963) Calcul de la force portante des fondations sur la base des résultats des essais pressiométriques. Sols-Soils, n° 5, juin, pp. 9-32 et n° 6, septembre, pp. 9-31.
Ménard L. (1971) Le tassement des fondations et les techniques pressiométriques. Bilan après dix ans de résultats expérimentaux. Annales de l’Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics. Paris, n° 288, série SF/84, décembre, pp. 105-124.
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